Монолитное ребристо-балочное перекрытие

    Однажды передо мной встала задача, рассчитать монолитное железобетонное ребристо-балочное перекрытие гаража, выполняющее функцию "зелёной" эксплуатируемой крыши. Про сам гараж и процесс его возведения имеется отдельная статья, а здесь я хотел бы сосредоточится на расчёте такого перекрытия. 

     Сразу хочу предупредить специалистов и инженеров-строителей - вам эту статью читать не стоит! Наверняка вам будет резать глаз непрофессиональный сленг, выполненные без соблюдения каких-либо правил чертежи и общий дилетантский подход к решению такой сложной задачи. Всё это действительно так - я не строитель и то, что я здесь понаписываю, основано только лишь на том, что я смог понять, читая всякие методички и справочники. Никакими глубинными знаниями в области сопромата и вообще в строительстве я не обладаю, к сожалению. Тем не менее, возможно кому-то будет полезно посмотреть мой пример, чтобы не допустить ещё больших ошибок, чем я =) 

      Перед тем, как начать расчёт, очень рекомендую посмотреть видео моего любимого автора Антона Вебера:

    В большом строительстве конструкторские бюро сначала просчитывают несколько вариантов конфигурации в целях определения наиболее экономически оправданого варианта, но мы, конечно, этого делать не будем. Наш гараж имеет вполне определённую форму, которая естественным образом диктует геометрию всех балок. Причём диктует так, что мне остаётся только подобрать армирование и провести расчёт на прочность. 

      Итак, начну с картинок, чтобы получить представление о том, что это за гараж такой:

Толщина плиты

Геометрические данные и краткое описание

    На изображении ниже обозначены все размеры и схема расположения рёбер.

  • Общая длина перекрытия - 14634 мм,

  • Общая ширина - 4524 мм

  • Общая площадь кровли - 66,2м²,

  • Грунт будет лежать на площади, ограниченной бордюром шириной 30 см:  14,034 х 3,924 м = 55,07м².

 

Плита перекрытия 

   Сама плита перекрытия входит в толщину второстепенных рёбер. Её толщину мы можем изменять в широком диапазоне, от 60 до 350 мм включительно, но, наша задача сделать перекрытие максимально лёгким, прочным и дешёвым. Вся эта кровля может иметь 85 тонн веса (см. далее сбор нагрузок) и конечно, чтобы всё это не сложилось под таким весом, очень желательно хотя-бы вес самого перекрытия сделать минимально возможным. По этой причине первоначально пытаемся рассчитать плиту толщиной 60 мм.

    Расстояние в свету между рёбрами я выбрал 1530 мм в связи с тем, что у нас есть листы фанеры для опалубки именно такого размера, 1530 х 1530 мм. Если расчёт приведёт меня к меньшему значению, значит будем пилить!

  • Высота сечения - 60 мм,

  • Ширина плиты - 1530 мм,

  • Длина плиты - 3924 мм,

  • Площадь плиты - 6,00372 м².

 

Второстепенные балки

    Высоту рёбер диктует высота главной балки и толщина "зелёного" слоя (600 - 250 = 350 мм). Кроме того, у нас есть куча фанеры именно такого размера с опалубки ростверков ТИСЭ (360мм).

   Ширину рёбер я выбрал 130 мм, потому что у нас имеется достаточное количество доски шириной 130мм для создания опалубки рёбер (вероятно, она когда-то была 150мм, но усохла до 130 - 135 мм). Кроме того, сечение второстепенных балок по сути является тавровым, благодаря монолитно выполненной плите, что значительно увеличивает сжатую область бетона.

  • Высота балок - 350 мм,

  • Ширина балки - 130 мм,

  • Длина балок - 3924 мм.

 

Главная балка

   Главные балки находятся по всему периметру объекта и имеют ширину 300мм, она равна ширине колонн, на которые опирается. Высота главной балки 600мм, она определена не только визуальными пропорциями, её высота должна совпадать с высотой, на которой находится окно-дверь второго этажа дома, из которого можно будет попадать на эту крышу. Поэтому высота должна быть не больше и не меньше 600 мм. Исходя из этого ограничения мы и будем подбирать армирование. Кроме того, для зелёной кровли необходим бордюр, чтобы грунт не ссыпался с краёв перекрытия. Толщина зелёного "пирога" со всякими там слоями дренажа, различных плёнок, подкладок и грунта не менее 25 см - эта величина задаёт высоту бордюра по периметру. Оставшиеся 350 мм главной балки будут занимать второстепенные рёбра и плита перекрытия.

      Пролёты между колоннами составляют: 4270, 4732, 4432 мм - северная часть главной балки; 6708,  7026 мм - южная часть главной балки; 3924 мм - западная и восточная балки, по сечению похожи на главные, но по сути второстепенные балки.

  • Высота сечения - 600 мм,

  • Ширина балки - 300 мм,

  • Пролёты двухпролётной балки - 6708 и 7026 мм,

  • Пролёты трёхпролётной балки - 4270, 4732 и 4432 мм.

Сбор нагрузок

  • Грунт, который будет лежать на перекрытии слоем 25 см будет создавать постоянную нагрузку 635 кг/м² - это 35 т;

  • Динамическая нагрузка - стандартные 195 кг/м² для террас выливаются в 12,9 т;

  • Снеговая нагрузка 120 кг/м² - ещё 7,94 т;

  • Вес главных балок можно считать сразу, т.к. их размер менятся не будет: 14,634 · 0,3 · 0,6 · 2500 = 6,6 т. Поскольку их две одинаковых по объёму, общий вес 13,2 т). Вес погонного метра - 450 кг/м.п. ;

  • Вес второстепенных балок тоже известен: 3,924 · 0,13 · 0,35 · 2500 = 446,4 кг (общий вес 3,13 т), 114 кг/м.п.;

  • Вес крайних второстепенных балок так-же: 3,924 · 0,3 · 0,6 · 2500 = 1766 кг (общий вес 5,3 т), 450 кг/м.п.;

  • Вес плиты минимальной толщины 6 см составит: 0,06 · 1,53 · 3,924 · 2500 = 901 кг (7,2 т общий вес), 150 кг/м² ;

Общий вес бетона перекрытия составит 28,9 тонн.  Суммарная полезная нагрузка составит 55,8 тонны.

Общая нагрузка на колонны будет 28,9+55,8 = 85 тонн!

  • Нагрузка на плиту распределённая и включая собственный вес составляет:

q = 635 + 195 + 120 + 150 = 1100кг/м² (10,8кН/м);

  • Нагрузка на второстепенную балку распределённая и собирается с грузовой площади плиты + собственный вес:

q = (1,53+0,13) · 1100 + 114 = 1940 кг/м.п. (19,1 кН/м)  (общая нагрузка на балку 7,6 т);

  • Нагрузка на второстепенную крайнюю балку составляет 0,5 грузовой площади плиты + собственный вес:

q = (1,53/2) · 1100 + 450 = 1300 кг/м.п. (12,7 кН/м)  (общая нагрузка на балку 5,1 т);

  • Нагрузка на каждую главную балку равна половине всей массы перекрытия (включая собственный вес) и минус две крайние второстепенные балки с их нагрузкой (они сами опираются на колонны и не нагружают главные балки): (85-5,1·2)/2 = 37,4 т, или 2700 кг/м.п. = 26,5 кН/м. Правда, это не совсем распределённая нагрузка, скорее множество сосредоточенных, но это мы учтём при расчёте.

 

Расчёты

   Поскольку это многоуровневая конструкция, то и рассчитывается она в несколько уровней. Сначала считается плита, затем второстепенная балка, и в конце считаем главную балку.

 

Плита

Плиты перекрытия в зависимости от соотношения сторон бывают:

  • балочными (соотношение L1/L2 > 2), т.е. плиты деформируются по короткому направлению (при этом величиной момента в длинном направлении пренебрегают ввиду его малости);

  • опертыми по контуру (L1/L2 ≤ 2), т.е. плиты деформируются в двух направлениях, с перекрестной рабочей арматурой.

Соотношение сторон нашей плиты 3924/1530 = 2,56, значит мы имеем дело с балочной плитой.

   Плита рассматривается как неразрезная многопролетная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой q=1100 кг/м² (10,8 кН/м). Моменты в таких конструкциях определяют с учетом перераспределения усилий в следствии пластических деформаций. Если пролётов достаточно много, то рассчётную схему обычно немного упрощают, отдельно расчитывая крайние плиты и все остальные как равные. Это связано с тем, что крайняя плита обычно опирается на стену, образуя шарнирное соединение, в то время как над остальными опорами возникает растягивающий момент. В нашем случае крайняя плита выполена монолитно вместе с крайней балкой довольно большого сечения (300 х 600 мм) и связана с ней арматурной сеткой в сжатой и растянутой зонах, что позволяет балке воспринимать момент от плиты, а мне - рассматривать все плиты как равные по распределению изгибающих моментов (все пролёты эквивалентны жёстко защемлённой схеме).
Расчетная схема плиты и эпюры внутренних усилий представлены на рисунке ниже:

    Поскольку плита у нас балочного типа, рассматриваем её как балку, мысленно вырезав из всей ширины перекрытия полосу, шириной 1м. При ширине полосы bs = 1 м нагрузка, приходящаяся на 1 м² плиты равна по величине нагрузке на 1 погонный метр полосы, таким образом расчетная нагрузка на плиту составляет: q = 10,8 кН/м.

Балку мы, опять-же мысленно, разрезаем на отдельные балки по пролётам с жёстким защемлением на концах. 

     Все расчётные формулы приведены на картинке под эпюрами, взяты у этого товарища.

Момент в середине каждого пролёта:   Mп = ql²/24 = 10,8 · 1,53² / 24 = 1,1 кН·м

Изгибающий момент над опорами (второстепенными балками) равен:  Моql²/12 = 10,8 · 1,53² / 12 = 2,1 кН·м

Величина поперечных сил возле каждой опоры: Q1 = 0,5 ql = 0,5 · 10,8 · 1,53 =  8,3 кН

 

Расчет сечения арматуры

Для бетона класса В30 принимаем по табличке характеристики:

  • Прочность на сжатие: Rb = 17 МПа;

  • Прочность на растяжение: Rbt = 1,2 МПа;

Расчетные характеристики для арматуры класса А-III, используемой

в арматурной сварной сетке (она просто уже есть в наличии):

  • Сопротивление растяжению: Rs = 365 МПа;

  • Диаметр прута сетки: 5 мм;

  • Ячейка: 100 х 100 мм;

  • Площадь сечения на 1м ширины сетки: 1,96 см² (табличка справа).

Размеры сечения плиты, принятые для расчета:

  • Ширина: b = 1 м;

  • Высота плиты (толщина): h =  60 мм;

  • Пролёт: l = 1,53 м;

  • Защитный слой: а = 15мм;

  • Рабочая высота сечения плиты: h0 = 60 - 15 = 45 мм.

Вычисляем граничное значение относительной высоты сжатой зоны, при которой предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчётному сопротивлению ξr. Её вычисление немного запутано, и поэтому существуют уже вычисленные значения в табличном виде, однако, есть и формулы (СНБ 5.03.01-02, пункт 7.1.2.4, стр. 36): 

ξr = ω / (1 + Rs/Rpr · (1 - ω / 1,1 ))

где ω - характеристика сжатой зоны бетона, определяемая по формуле: ω = k - 0,008 · Rb

где в свою очередь k - коэффициент, принимаемый равным для бетона:

тяжёлого - 0,85; мелкозернистого - 0,80.                         Итого: ω = 0,85 - 0,008 · 17 = 0,714.

 Rpr - предельное напряжение в арматуре сжатой зоны сечения, принимаемое равным 500 Н / мм²

ξr = 0,714 / (1 + 365/500 · (1 - 0,714 / 1,1 )) = 0,568

Теперь вычисляем коэффициент αr:

αr = ξr (1 - 0,5ξr) = 0,568 · (1 - 0,5 · 0,568) = 0,407

Для расчета требуемой площади арматуры в расчетных сечениях плиты можно пользоваться следующим алгоритмом:

Площадь сечения сеток

Итак, считаем коэффициент αm:

αm = M / (Rb b ho²) = 1,1 / (17000 · 1 · 0,045²) = 0,032 (в пролёте)

αm = M / (Rb b ho²) = 1,6 / (17000 · 1 · 0,045²) = 0,046 (над опорой)

Если значение Am будет больше Ar, то потребуется увеличить сечение бетонной балки, или повысить класс бетона. Если же таких возможностей или желаний нет, то необходимо устанавливать арматуру в сжатой зоне бетона!

В нашем случае для всех пролётов это условие (αm ≤ αr) выполняется, значит сжатой арматуры нам не требуется. 

Вычисляем коэффициент η :

η = 0,5 (1+√(1-2αm) = 0,5·(1+√0,936) = 0,984 (для пролёта); η = 0,976

Расчёт необходимой площади сечения растянутой арматуры ведётся по формуле:

As = M / (Rs ho η ) = 1,1 / (365000 · 0,045 · 0,984) = 0,00007 м² = 0,7 см² (посередине пролёта)

As = M / (Rs ho η ) = 1,6 / (365000 · 0,045 · 0,976) = 0,00099 м² = 1,0 см² (над опорой)

Выбранная сетка с ячейкой 100х100 и диаметром прутов 5 мм имеет сечение 1,96 см² > As, что обеспечит дополнительный запас прочности. В данном случае подошла бы сетка 100 х 100 х 4 или 150 х 150 х 5.

    В пролёте сжатой арматуры не требуется, однако, над второстепенными балками у нас образуется отрицательный момент почти вдвое большей величины, который необходимо компенсировать дополнительной сеткой в верхнем ряду над балками. Выбранная сетка с таким же сечением с большим запасом подходит и туда тоже. Длину рабочих стержней верхней сетки (ширину сетки) назначают из условия, что расстояние от грани балки в каждую сторону было не менее 1/4 пролета плиты. В нашем случае это 40 см в обе стороны. Итого, ширина верхней сетки над балками должна быть не менее 40+13+40 = 93 см. Поскольку размер сетки 2 х 3 метра, разрезаем её ровно поровну, по 1 метру, и укладываем ровно по центру над второстепенной балкой.

     Поскольку нам известна формула прогиба для защемлённой балки, вычислим прогиб плиты под расчётной нагрузкой:

f=q·lᶣ / 384·EI = 0,95 мм

Допустимый относительный прогиб для такой плиты примем равным 1/300, что в абсолютном выражении равно: 1530 / 300 = 5,1 мм. Расчётный прогиб имеет значительный запас! Вычисление величины EI для формулы прогибов довольно громоздкое, и приведено чуть ниже для второстепенной балки.

Второстепенная однопролётная балка

     Второстепенная балка работает совместно с прилегающими к ней участками плиты, это значит, что расчетное сечение будет не прямоугольное, а тавровое, с шириной полки в сжатой зоне bf равной расстоянию между осями (шагу) второстепенных балок плюс собственная ширина балки, т.е. bf = 1530 + 130 = 1660 мм.

Размеры балки: 

• Длина: l = 3,924 м;

• Высота: h = 0,35 м;

• Ширина: b = 0,13 м;

• Ширина сжатой зоны: bf = 1660 мм;

• Защитный слой бетона: а = 30 мм;

• Рабочая высота сечения: ho = 350 - 30 = 320 мм;

Бетон такой же, как и в плите, В30.

Арматура класса А500С:

• Сопротивление растяжению: Rs = 435 МПа;

• Сопротивление сжатию: Rsc = 400 МПа.

Нагрузки на второстепенную балку состоят из нагрузки от грузовой площади плиты + собственный вес плиты + собственный вес балки: 19,1 кН.

      Величины поперечных сил на опорах слева и справа будут равными:

Qл = Qп = 0,5 q l = 0,5 · 19,1 · 3,924 = 37,47 кН

     Для тавровых сечений важно определить положение границы сжатой зоны. Если граница эта выходит за пределы полки тавра, то такое сечение считается прямоугольным шириной b, однако, если граница попадает в полку - то сечение рассчитывают как прямоугольную балку шириной bf. Условие это выглядит вот так:

M ≤ Mf 

где Mf = Rb bf hf (ho - hf/2) = 17000 · 1,66 · 0,06 · (0,32 - 0,06 / 2) = 491,03 кН·м,

М = q l² / 8 = 19,1 · 3,924² / 8 = 36,76 кН·м.

Условие выполняется, значит сжатая зона находится в полке, а сечение в пролёте второстепенной балки рассматривается как b = bf = 1660 мм.

   Проверяем прочность бетона стенки по сжатой полосе между наклонными трещинами у опоры, где действует наибольшая поперечная сила Q = 37,47 кН, по условию:

Q ≤ 0,3 φw φb Rb b ho

где φw - коэффициент, учитывающий влияние поперечной арматуры. Поскольку армирование не определено, φw = 1;

φb - коэффициент, учитывающий работу сжатого бетона; φb = 1- 0,01 · Rb = 0,83.

37,47 кН ≤ 0,3 · 1 · 0,83 · 17000 · 0,13 · 0,32 = 176,1 кН

Прочность обеспечивается, значит принятые размеры бетонного сечения достаточны.

 

Расчет продольной арматуры

Расчёт арматуры будем производить по алгоритму, приведённому в расчёте плиты. Вычисляем коэффициент αm:

αm = M / (Rb b ho²) = 36,76 / (17000 · 1,66 · 0,32²) = 0,0127

Теперь вычисляем коэффициент αr:

ξr = ω / (1 + Rs/Rpr · (1 - ω / 1,1 )) = 0,714 / (1 + 435/500 · (1 - 0,714 / 1,1 )) = 0,547

αr = ξr (1 - 0,5ξr) = 0,547 · (1 - 0,5 · 0,547) = 0,397 > αm = 0,0127

αm значительно меньше αr благодаря работе плиты, как полки таврового сечения, значит сжатая арматура не нужна.

Вычисляем коэффициент η :

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√0,975) = 0,9936

Вычисляем площадь растянутой арматуры:

As = M / (Rs ho η ) = 36,76 / (435000 · 0,32 · 0,9936) = 0,000266 м² = 2,66 см²

Попробуем посчитать 2 стержня арматуры.

Площадь сечения одного стержня должна быть не менее S = 2,66 / 2 = 1,33 см², 

диаметр этих стержней:   D = √(S / π) · 20 = (1,33 / 3,1416) · 20 = 13 мм.

Округляем до ближайшего большего значения из номенклатурного ряда, получаем 2 прута диаметром 14 мм.

В наличии у нас есть арматура 12 и 10 мм, считаем другую комбинацию. S10 = 0,785 см² х 2 = 1,57 см². Остаётся перекрыть ещё 2,53 - 1,57 = 0,96 см². Это ещё один пруток арматуры диаметром 12 мм. Принимаем к реализации такую экзотическую комбинацию:  2 прута 10 мм + 1 прут 12 мм. Итого, площадь растянутой арматуры As = 2,7 см².

 

Расчет прочности по наклонным сечениям

Смысл этого расчёта демонстрирует картинка справа.

Расчет производится для наклонных сечений возле опоры.

Поскольку поперечные силы с обоих краёв балки равные, считаем один из них.  

Qл = Qп = 0,5 q l = 0,5 · 19,1 · 3,924 = 37,47 кН

Прочность плиты по наклонным сечениям обеспечивается прочностью

бетона и поперечной арматуры, расположенной в ребрах плиты.

Выясняем необходимость постановки поперечного армирования по расчету из условия:

 Qл ≤ Qmin

где Qmin - расчетная поперечная сила, воспринимаемая железобетонным элементом без поперечной арматуры.

Расчетную поперечную силу Qmin, воспринимаемую элементом без вертикальной и (или) наклонной арматуры, допускается определять по формуле (7.78a) п.п. 7.2.1.6 СНБ 5.03.01-02 :

Qmin = ϕс · (1+ ϕf + ϕn) · Rbt · b · ho

но не более Qm = 1,5 · ϕс ·Rbt · b · ho

где коэффициент ϕс принимается равным:

 для тяжелого бетона — 0,6;
 для мелкозернистого — 0,5.

ϕf - коэффициент, учитывающий влияние сжатых полок таврового сечения:

ϕf = 0,75 · (bf - b) hf / (b ho) = 0,75 · (0,31 - 0,13) · 0,06 / (0,13 · 0,32) = 0,195

при этом bf принимается не более (b + 3hf), а поперечная арматура должна быть заанкерена в полке;

ϕn - коэффициент, учитывающий влияние продольных сил: ϕn = 0, так как продольная сила отсутствует.

Qmin = 0,6 · (1+0,195+0) · 1,2 · 130 · 320 = 35792 H = 35,8 кН

Qm = 1,5 · 0,6 ·1,2 · 130 · 320 = 44928 Н = 44,9 кН

Поскольку Qmin = 35,8 кН < Qл= 37,47 кН, то требуется постановка хомутов по расчету. 

 

Расчёт поперечного армирования

     Диаметр хомутов в вязанных каркасах определяется расчетом при необходимости и должен быть не менее 5 мм при h ≤ 800 мм и 8 мм при h > 800 мм. Высота нашего сечения 350 мм, но для хомутов у нас запасена арматура диаметром 6мм. Площадь сечения хомута Asw = 0,5652 см².

     Максимально допустимый расчётный шаг хомутов определяем по формуле (Пособие по проектированию жбк, к СНиП 2.03.01-84 п.п. 3.29 (46)):

Smax = ϕb4 · Rbt · b · ho²/Q = 1,5 · 1200 · 0,13  · 0,32² / 37,47 = 0,64 м

где фb4 | фb3 | фb2:

 - для тяжёлого бетона: 1,5 | 0,6 | 2,00

 - для мелкозернистого и лёгкого плотностью выше D 1900: 1,2 | 0,5 | 1,7

 - для лёгкого D < 1900 и пористого: 1,0 | 0,4 | 1,5

Однако, согласно СНБ 5.03.01-02 п.п. 11.2.21, в железобетонных элементах, в которых поперечная сила не может быть воспринята только бетоном, поперечную арматуру следует устанавливать по расчету с выполнением следующих конструктивных требований, определяющих шаг поперечных стержней:

  • на приопорных участках длиной 0,25l:

— при h ≤ 450 мм — не более h/2 и 150 мм; 
— при h > 450 мм — не более h/3 и 300 мм; 

  • в средней части элемента независимо от высоты — не более 3/4h и 500 мм;

Таким образом, в средних частях пролетов шаг поперечных стержней принимаем S = 24,5 см, (что не превышает 3/4h = 3/4*35 = 26 см) исходя из равномерного распределения по длине балки.

В приопорных участках шаг поперечных стержней не должен превышать 15 см и не более h/2 = 35/2 = 17,5 см. Принимаем 15 см.

Вычисляем интенсивность усилий в поперечных стержнях на единицу длины балки:

qs = Rsw · Asw / S = 290 000 кПа · 0,00005652 м²  / 0,15 м = 109,272 кН·м

где Rsw - сопротивление растянутой поперечной арматуры класса АIII = 290 МПа;

Asw - площадь сечения арматуры хомута (удвоенная). Asw = 3,14*0,3² · 2 = 0,5652 см²;

S - расстояние между хомутами в этой проекции, S = 15 cм.

Минимальная интенсивность:

qsmin = фb3 · Rbt · b / 2 = 0,6 · 1200 · 0,13 /2 = 46,8 кН·м

Требуемая интенсивность:

qsтр = Q² / (4 · Mb) = 37,47² / (4 · 31,95) = 11 кН·м

где Mb = фb2 · Rbt · b · ho² = 2 · 1200 · 0,13 · 0,32² = 31,95 кН·м

Так как принятая интенсивность (109 кН/м) не меньше требуемой (9,18 кН/м) и минимальной (46,8 кН/м), оставляем шаг S = 15 см.

Ширину приопорных участков вычислим по проекции опасной наклонной трещины на продольную ось балки.

Длина проекции опасной наклонной трещины:

с0 = √(Mb/qs) = √(31,95 / 109,272) = 0,54 м

Учитывая границы с0 в расчёте (ho < c0 < 2ho), оставляем с0 = 54 см. Несущую способность наклонного сечения проверяем по условию:

Qmax = Mb / c0 + qs · c0 = 31,95 / 0,54 + 109,272 · 0,54 = 118 кН

Qmax (118 кН) > Qл (37,47 кН).

Условие выполняется! Такой запас несущей способности у нас образовался благодаря хомутам, которые даже в приопорных учасках можно было бы ставить на расстоянии, как и в средней части пролёта - 25 см.

 

Прогиб второстепенной балки

    Для желающих вникнуть в самую суть этого расчёта предлагаю ознакомится с методическими указаниями по "Строительным конструкциям" Танаева В.А.  п.п. 1.1.8. Приводимый ниже расчет не совсем соответствует рекомендациям СНиП 2.03.01-84 и СП 52-101-2003, тем не менее позволяет приблизительно определить значение прогиба по упрощенной методике, с которой подробно можно ознакомится на сайте автора. 

Прогиб балки при выбранной расчетной схеме (рассматриваем балку, как шарнирно опёртую) составит:

f = k · 5 · q · l/ (384 · EI · p)

Как видим, формула достаточно проста и отличается от классической наличием дополнительного коэффициента. Коэффициент k учитывает изменение высоты сжатой области сечения по длине балки при действии изгибающего момента. При равномерно распределенной нагрузке и работе бетона в области упругих деформаций значение коэффициента для приближенных расчетов можно принимать k = 0,86. Таким образом в приведенной формуле остается 2 неизвестных величины: расчетное значение модуля упругости бетона и момент инерции приведенного сечения.

     Балка состоит из материалов, имеющих различные модули упругости, поэтому нейтральная линия - ось балки будет проходить не через центры тяжести поперечных сечений, а будет смещена и будет проходить через приведенные центры тяжести. Положение приведенных центров тяжести будет зависеть от соотношения модулей упругости бетона и арматуры.

    Так как модуль упругости стали значительно больше начального модуля упругости бетона, то при рассмотрении геометрических параметров поперечного сечения плиты, как некоего единого сечения, площадь сечения арматуры следует умножить на отношение Еs/Eb, где Es - модуль упругости арматуры (200 000 МПа), Eb - модуль упругости бетона (32 000 МПа).  Для балки это соотношение составит as1= 200 000/32 000 = 6,25.

     Определим высоту сечения, минимально допустимую расчетами на прочность без учета пластических деформаций. Поскольку балка у нас таврового сечения, то ширину принимаем b = bf = 1,66м. Так как расчет прочности может производиться из условия:

M / W ≤ Rb

W ≥ M/Rb = 36,76/17000 = 0,002162 м³ = 2162 см³

W = 2 · b · y2² / 3

то деформации в сжатой зоне бетона будут упругими при

y2 = (3 · W / (2 · b)) = (3 · 0,00216235 / (2·  1,66)) = 0,0442 м = 4,42 см

 

Так как высота сжатой зоны бетона в процессе деформации будет меньше высоты, необходимой для линейно изменяющегося распределения нормальных напряжений по высоте, то это приведет к перераспределению нормальных напряжений. В итоге площадь эпюр в обоих случаях будет одинаковой (так как значение изгибающего момента не меняется), а высота зоны упругих деформаций еще уменьшится на у2 - у. Таким образом расчетное значение высоты приведенного сечения составит:

hmin = ур = у - (у2 - у) 

где y вычисляется решением кубического уравнения:

  у³ = 3 · As · (ho - y)² · Es / (b · Eb)

Сократим его, насколько возможно:     у³ = 3 · 0,00027м² · (0,32м - y)² · 200ГПа / (1,66м · 32ГПа) = 0,00305 · (0,32 - у)²

0=-у³ + 0,00305у² - 0,00195y + 0,00031

Для решения этого уравнения я использую формулу Кардано. В связи с тем, что коэффициенты системы слишком малы, лучше решать его в таблицах Exel или каком-то калькуляторе, максимально сохраняя знаки после запятой. Я всё посчитал в Exel, а здесь буду приводить округлённые значения. Итак, коэффициенты нашего уравнения таковы:

a = -1, b=0,00305, c=-0,00195, d=0,00031. 

При помощи замены переменной y на x - b / 3a = x - 0.00305 / -3 = x + 0.00102

уравнение может быть приведено к канонической форме с коэффициентами:

 

 

 

 

 

 

p = (3 · -1 · -0.00195 - 0.00305²) / 3 = 0.00195

q = (2 · 0.00305³ - 9 · -1 · 0.00305 · -0.00195 + 27 · -1² · 0.00031) / (27 · -1³) = -0.00031

Определим Q:                                                     Q = (p / 3)³ + (q / 2)² = (0.00195 / 3)³ + (-0.00031 / 2)² = 2.43·10^-8

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

  • Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

  • Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.

  • Q < 0 — три вещественных корня. 

В нашем случае Q хоть и на совсем микроскопическую величину, но больше нуля - значит, уравнение имеет один вещественный корень.

По формуле Кардано, вещественный корень кубического уравнения в канонической форме равен х = α + β, где:

 

 

 

α = 0,06776,  β = -0,00958

х = 0,06776 - 0,00958 = 0,05818

Возвращая обратно принятую нами ранее замену, вычисляем у:    y = x - b / 3a = 0.05818 - 0.00305 / -3 = 0.0592 м = 5,92 см.

Использование этого значения высоты сжатой зоны для дальнейших расчетов будет корректным при работе бетона в области упругих деформаций. Если в сжатой зоне в результате деформаций будет происходить перераспределение напряжений, то высоту сжатой зоны при данной методике расчета следует уменьшить.

Итак, возвращаемся к расчётам балки:                     hmin = ур = у - (у2 - у) = 5,92 - 4,42 + 5,92 = 7,42 см

Расчетный момент инерции составит:                           Ip = 2 b hmin³ / 3 = 2·166·7,42³ / 3 = 45190 смᶣ

Значение прогиба при полной нагрузке составит: f = k 5 q lᶣ / (384 Eb Ip) = 0,86 · 5 · 19,1 · 3,924ᶣ / (384·32000 ·0,0004519) = 3,5 мм 

     Примечание: Один из недостатков приведенного выше способа определения прогиба состоит в в том, что при расчетах мы не учли возможное изменение модуля упругости при длительном действии нагрузки и различных других факторах. Нельзя сказать, что более точный учет модуля упругости внесет страшное смятение в стройные ряды прогиба, тем не менее, расчет с учетом уточненного значения модуля упругости будет более точным.

     Допустимый относительный прогиб для балок длиной до 6 м составляет 1/200 (согласно СНиП 2.01.07-85 Нагрузки и воздействия таблица 19), что в абсолютных величинах составит 3924 / 200 = 19,6 мм.  Прогиб нашей балки не превышает допусков, значит армирование и геометрию балки оставляем такую, как рассчитали.

      Если бы эта балка была не таврового, а прямоугольного сечения шириной 130 мм, то расчётный прогиб составил бы 41 мм, что недопустимо много, пришлось бы значительно увеличивать армирование, и принимать большую ширину (при неизменной высоте).

      Схема армирования балки приведена на рисунке:

 Расчёт крайних второстепенных балок

   Эти балки имеют такое же сечение, как и главная балка, 300 х 600 мм, но при этом они несут нагрузку в основном только от собственного веса, ну и половину нагрузки прилегающей плиты. Расчёт для них нужен скорее не для того, чтобы обеспечить прочность, а чтобы армировать их в меру. Поэтому я не буду проводить расчёты прочности наклонных сечений, прочности бетонной стенки, вычисление прогибов - они явно достаточны.

Размеры балки: 

  • Длина: l = 3924 мм;

  • Высота: h = 600 мм;

  • Ширина: b = 300 мм;

  • Защитный слой: а = 40 мм;

  • Рабочая высота сечения: ho = 600 - 40 = 560 мм;

Бетон такой же, как и в плите, В30;

Арматура класса А500С:

  • сопротивление растяжению: Rs = 435 МПа;

  • сопротивление сжатию Rsc = 400 МПа.

Нагрузка распределённая 12,7 кН/м.

Расчёт арматуры будем производить по алгоритму, приведённому в расчёте плиты. Вычисляем коэффициент αm:

αm = M / (Rb b ho²) = 12,7 / (17000 · 0,3 · 0,56²) = 0,008

Коэффициент αr зависит только от класса бетона и арматуры, следовательно он такой же, как и в расчёте балки выше:

ξr = 0,547,    αr = 0,397

αm < αr, значит сжатая арматура не нужна.

Вычисляем коэффициент η :

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√0,984) = 0,996

Вычисляем площадь растянутой арматуры:

As = M / (Rs ho η ) = 12,7 / (435000 · 0,56 · 0,996) = 0,000052 м² = 0,52 см²

Диаметр стержня:   D = √(As / π) · 20 = (0,45 / 3,1416) · 20 = 8,2 мм.

По правилам армирования в балках и рёбрах шириной более 15 см число продольных рабочих растянутых стержней в поперечном сечении должно быть не менее двух, и их диаметр должен быть не менее 10 мм. 

Следуя этим правилам установим в балке 2 растянутых и 2 сжатых стержня диаметром 10 мм. As = 1,57 см²

Поперечные хомуты расставим исходя из конструктивных соображений с максимально допустимым шагом 3/4h = 45 см.

Расчёт на прогиб по вышеописанному алгоритму выдаёт f = 0,0009 м = 0,9 мм

 

Главные балки

     Остался последний элемент расчёта - главные балки. Таких балки у нас две, одна - двухпролётная с пролётами 7026 и 6708 мм, вторая - трёхпролётная балка с пролётами 4732, 4432 и 4096 мм.

   По сравнению с обычной однопролетной шарнирной балкой на двух опорах, где только нижняя часть поперечного сечения балок растягивается, а верхняя - сжимается, в шарнирной многопролётной балке растягивающие напряжения возникают в нижней части балки в пролётах и в верхней части балки над средней опорой.  Нагрузку этой балки следовало бы рассматривать не как равномерно распределённую, а как три равноудалённых сосредоточенных, так как нагрузка от плиты будет передаваться главной балке через второстепенные. В общем, в точном расчте главной балки мы можем надолго застрять в математике. Благо, есть ещё умные люди, которые хорошо знают основы теоретической механики и способны представить несколько упрощённый вариант расчётов. Сначала мы переведём сосредоточенные нагрузки в эквивалентную распределённую, используя коэффициент эквивалентности γ :

γ = (m +1) / m = (7 + 1)/7 = 1,143

где m - количество сосредоточенных нагрузок, в нашем случае второстепенных балок перекрытия.

А чтобы быть более уверенным в расчетах, дополнительно воспользуемся коэффициентом надежности по нагрузке γн = 1,1.  Нагрузку на балку мы уже посчитали в разделе "сбор нагрузок", сейчас лишь применим коэффициенты пересчёта: q = 28,5 · 1,143 · 1,1 = 35,83 кН/м.

Главная трёхпролётная балка

    Согласно книге Голышева А.В. "Проектирование ЖБ конструкций" (стр 301), мы можем рассматривать нашу балку, как равнопролётную. Коэффициент эквивалентности сосредоточенных нагрузок мы уже учли при расчёте q выше. Изгибающие моменты и опорные реакции в равнопролётных балках с тремя пролётами, загруженными такой "равномерно" распределённой нагрузкой, будут следующими:

Пролётный момент в первом пролёте:   M = ql²/12,5 = 35,83 · 4,27² / 12,5 = 52,3 кН·м

Момент в середине среднего пролёта:   M = ql²/40 = 35,83 · 4,732² / 40 = 20 кН·м

Пролётный момент в  третьем пролёте: M = ql²/12,5 = 35,83 · 4,432² / 12,5 = 56,3 кН·м

Опорные моменты над опорой В и С:   М = ql²/10 = 35,83 · 4,732² / 10 = 80,3 кН·м

Величина поперечных сил на опоре А: Qa = 0,4 ql = 0,4 · 35,83 · 4,27 =  61,2 кН

Величина поперечных сил на опоре D: Qd = 0,4 ql = 0,4 · 35,83 · 4,43 =  63,5 кН

Величина поперечных сил на опоре В: Qb = 0,6 ql1+0,5ql2 = 35,83 · (0,6·4,27+0,5·4,732) = 176,6 кН

Величина поперечных сил на опоре С: Qс = 0,6 ql3+0,5ql2 = 35,83 · (0,6·4,43+0,5·4,732) = 180 кН

Сумма опорных реакций должна быть равной суммарной распределенной нагрузке на всей длине балки. Проверим:

Qa + Qb + Qc + Qd = 61,2 + 176,6 + 180 + 63,5 = 481,3 = q · 13,43 м. - всё правильно!

Подбираем сечение продольной арматуры по алгоритму, описанному в расчёте плиты. Для этой балки нам нужно вычислить дважды сечение арматуры: для нижнего ряда в максимальном третьем пролёте, и для верхнего ряда над опорой С, т.к. именно там действуют максимальные изгибающие моменты.

 

Нижняя арматура главной трёхпролётной балки. 

 Входные данные:

  • М1 = 52,3 кН·м,

  • М2 = 20 кН·м,

  • М3 = 56,3 кН·м,

  • рабочая высота балки: h0 = 0,56 м,

  • ширина балки: b = 0,3 м.

 

Считаем для максимального момента.

αm = M3 / (Rb b ho²) = 56,3 / (17000 · 0,3 · 0,56²) = 0,035

Коэффициент αr зависит только от класса бетона и арматуры, следовательно он такой же, как и в расчёте балки выше:

ξr = 0,547,    αr = 0,397

αm < αr, значит сжатая арматура не нужна.

Вычисляем коэффициент η :

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√(1-2·0,035)) = 0,982

Вычисляем площадь растянутой арматуры:

As = M / (Rs ho η ) = 56,3 / (435000 · 0,56 · 0,982) = 0,000235 м² = 2,35 см²

У нас в наличии имеется арматура диаметром 10, 12 и 16 мм. Площадью сечения соответственно:

As10 = пR² = 3,14 · 0,6² = 0,785 см²;     As12 = 1,13 см²;     As16 =  2,01 см².

Необходимо либо 3 прута 10-ки (As = 2,35), либо 3 прута 12-ки (As = 3,39), либо 2 прута 16-ки (As = 4,02).

Для некоторого запаса по арматуре принимаем комбинированный вариант: 2 прута 12мм + 1 прут 10 мм, As = 3,045 см².

Расчёт для первого пролёта требует As = 2,2 см², а для второго пролёта As = 0,9 см²

Первый, второй и третий пролёт армируем двумя сплошными прутами диаметром 12 мм.

В первый и третий пролёт добавляем посередине по одному пруту диаметром 10 мм.

 

Верхняя арматура главной трёхпролётной балки. 

Входные данные:

  • М = 80,3 кН·м,

  • h0 = 0,56 м,

  • b = 0,3 м.

αm = M / (Rb b ho²) = 80,3 / (17000 · 0,3 · 0,56²) = 0,05

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√(1-2·0,05)) = 0,974

As = M / (Rs ho η ) = 80,3 / (435000 · 0,56 · 0,974) = 0,00034 м² = 3,4 см²

Из конструктивных соображений принимаем армирование двумя прутами диаметром 12 мм вдоль верхних углов всей балки и над опорами добавляем посередине по два прута диаметром 10 мм. As = 3,83 см²

 

Проверяем прочность бетона по сжатой полосе между наклонными трещинами у опоры, где действует наибольшая поперечная сила, по условию:

Q ≤ 0,3 φw φb Rb b ho

Наибольшая поперечная сила действует над опорой С справа: 

Qсл = 0,6ql = 0,6 · 35,83 · 4,432 =  95,3 кН

где φw - коэффициент, учитывающий влияние поперечной арматуры. Поскольку армирование не определено, φw = 1;

φb - коэффициент, учитывающий работу сжатого бетона; φb = 1- 0,01 · Rb = 0,83.

95,3 кН ≤ 0,3 · 1 · 0,83 · 17000 · 0,3 · 0,56 = 711 кН

Прочность обеспечивается, значит принятые размеры бетонного сечения достаточны.

 

Поперечное армирование

Выясняем необходимость постановки поперечного армирования по расчету из условия:  Qсл ≤ Qmin,

где Qmin - расчетная поперечная сила, воспринимаемая железобетонным элементом без поперечной арматуры.

Расчетную поперечную силу Qmin определяем по формуле:

Qmin = ϕс · (1+ ϕf + ϕn) · Rbt · b · ho

но не более Qm = 1,5 · ϕс ·Rbt · b · ho

где коэффициент ϕс принимается равным:

 для тяжелого бетона — 0,6;
 для мелкозернистого — 0,5.

ϕf - коэффициент, учитывающий влияние сжатых полок таврового сечения = 0:

 

ϕn - коэффициент, учитывающий влияние продольных сил: ϕn = 0, так как продольная сила отсутствует.

Qmin = 0,6 · (1+0+0) · 1200 · 0,3 · 0,54 = 116,64 кH

Qm = 1,5 · 0,6 ·1,2 · 0,3 · 0,54 = 175 кН

Поскольку Qmin = 116,64 кН > Qсл= 95,3 кН, то хомуты по расчету вообще не требуются. Однако, запас у нас не такой уж и большой! Пересчитаем балку с учётом хомутов. 

    Расставляем их исходя из конструктивных требований 3/4h = 45 см. Димаетр хомутов минимально допустимый 5 мм, у нас в наличии 6 мм. В приопорных участках шаг поперечных стержней не должен превышать h/2 = 60/2 = 30 см. Примем 30 см.

 

Вычисляем интенсивность усилий в поперечных стержнях на единицу длины балки:

qs = Rsw · Asw / S = 290 000 кПа · 0,00005652 м²  / 0,3 м = 54,6 кН·м

где Rsw - сопротивление растянутой поперечной арматуры класса АIII = 290 МПа;

Asw - площадь сечения арматуры хомута (удвоенная). Asw = 3,14*0,3² · 2 = 0,5652 см²;

S - расстояние между хомутами в этой проекции, S = 30 cм.

 

Ширину приопорных участков вычислим по проекции опасной наклонной трещины на продольную ось балки.

Длина проекции опасной наклонной трещины:

с0 = √(Mb/qs) = √(225,8 / 109,3) = 1,44 м

Учитывая границы с0 в расчёте (ho < c0 < 2ho), принимаем с0 = 1,12 см. Несущую способность наклонного сечения проверяем по условию:

Qmax = Mb / c0 + qs · c0 = 225,8 / 1,12 + 54,6 · 1,12 = 262 кН

где Mb = фb2 · Rbt · b · ho² = 2 · 1200 · 0,3 · 0,56² = 225,8 кН·м

Qmax (262 кН) > Qл (95,3 кН).

Условие выполняется, несущая способность наклонного сечения обеспечивается. Вот такой запас уже душу греет! =)

 

Определение мест обрыва верхней арматуры главной трёхпролётной балки.

    Места обрыва или отгиба стержней назначаются в соответствии с эпюрами изгибающих моментов. Для этого на огибающей эпюре изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенной в соответствующем масштабе, строится в том же масштабе так называемая эпюра материалов, представляющая собой эпюру моментов Мu, которые может воспринять балка имеющимся в её сечении количеством арматуры.
Несущая способность сечений балки по арматуре определяется по формуле:

Mu = Rs As η ho = 435 · 3,045 · 0,976 · 54 = 69,81 кН·м.

где ho - уточнённое значение рабочей высоты сечения

η - коэффициент, определяемый по формуле: η = 1 - 0,5ξ  = 1 - 0,5 · 0,0481 = 0,976

где ξ = Rs As / (Rb b ho) = 435 · 3,045 / (17 · 30 · 54) = 0,0481.

При построении эпюры материалов считают, что обрываемый стержень необходимо завести за точку теоретического обрыва, где он уже не нужен по расчету, на расстояние не менее 20d для анкеровки.

       Теперь нам необходимо вычислить Mu для двух прутов арматуры, которые идут без обрыва через всю балку:

ξ = 435 · 2,26 / (17 · 30 · 54) = 0,0357

η = 1 - 0,5 · 0,0357 = 0,982

 Mu = Rs As η ho = 435 · 2,26 · 0,982 · 54 = 52,1 кН·м.

Полученное значение будет соответствовать обрыву (отгибу) стержня в сечении с меньшим изгибающим моментом.

Построение графической части показывает, что в верхнем ряду центральная арматура диаметром 10 мм необходима только на первых 40 см от грани опоры в обе стороны! С учётом необходимой длины анкеровки не менее 20d и ширины опоры 30 см минимальная длина прута L = 20d + 40 + 30 + 40 + 20d = 150 см. У меня как раз есть обрезки длиной 1500 мм - вот они и пригодятся! Центральный нижний прут арматуры, требуемый в крайних пролётах, имеет необходимые длины 20d+50+20d и 20d+100+20d, т.е. 90м и 1,4 м соответственно в первом и третьем пролёте. Можно так-же высчитать и точки обрыва нижней арматуры, но я заведомо знаю, что дополнительный центральный прут арматуры я положу от колонны до колонны, поэтому не буду на это отвлекаться! 

 

Прогиб балки 

Прогиб этой балки я вычислил по алгоритму, описанному в расчёте второстепенной балки, но с изменеиями в самой формуле прогиба. Данная трёхпролётная неразрезная балка представляет собой комбинацию из двух видов балок:

  • крайние пролёты можно рассматривать, как шарнирно опираемые на крайние опоры А и D, и жёстко защемлённые на опорах B и C балки. Защемлены они потому, что на опорах В и С действует противоположный изгибающий момент от центрального пролёта, и все балки над опорами имеют неразрывное армирование, которое и перераспределяет усилия в балках. Если бы мы не армировали верхнюю часть главной балки, то над колоннами бы появились раскрывающиеся трещины, а пролёты мы бы считали, как отдельные балки на шарнирных опорах.

  • центральный пролёт по тем же причинам вообще является защемлённым с двух сторон.

Конечно, это всё влияет и на прогиб каждого вида пролётов. Влияние это отображается изменением коэффициентов в формуле прогибов:

  • для балок с одним шарнирно опираемым и одним защемлённым концом:  f = k · q · lᶣ/ (185 · EI · p)

  • для балок с двумя защемлёнными концами:  f = k · q · lᶣ/ (384 · EI · p)

В остальном расчёт полностью идентичен описанному. Результат вычислений таков:

  • Прогиб в пролёте АВ длиной 4,27 м:                              f = 1,3 мм.    Допустимый прогиб  4270 / 200 = 21 мм.

  • Прогиб в центральном пролёте ВС длиной 4,732 м: f = 0,2 мм.    Допустимый прогиб  4732 / 200 = 23 мм.

  • Прогиб в пролёте CD длиной 4,432 м:                           f = 1,7 мм.    Допустимый прогиб  4432 / 200 = 22 мм.

Любое из этих значений удовлетворяет нормам, значит дополнительно усиливать армирование балок не следует!

 

Сочленение второстепенной балки с главной

    Обычно главные балки воспринимают нагрузку своей верхней гранью, оказывая давление на бетон, но в нашем случае второстепенные балки сочленяются с главной балкой в нижней её части. Это приводит к тому, что место сочленения эти балок работает не на сжатие, а на отрыв. По сути, второстепенная балка опирается своим арматурным каркасом только на нижнюю растянутую арматуру главной балки. В связи с этим вся нагрузка на удержание второстепенных балок ложится на соответствующее армирование, ибо бетон на отрыв практически не работает. Нагрузка в месте сочленения этих двух балок равна 37,47 кН (её мы вычисляли в разделе расчёта второстепенной балки). Чтобы передать эту нагрузку от нижней арматуры главной балки верхней арматуре, можно установить хомуты в непосредственной близости от места входа второстепенной балки в главную. Нагрузка, которую способен воспринять один хомут из арматуры диаметром 6 мм:

 qs = Rsw · Asw = 290 000 кН/м² · 0,00005652 м²  = 16,39 кН.

Установив два хомута слева и справа от места соединения балок и ещё один в центре мы сможем компенсировать 49 кН.

Так же мы можем изогнуть соединительную скобу, соединяющую нижнию арматуру второстепенной балки с верхней арматурой главной из арматуры диаметром 12мм. Эта арматура класса А500С и её прочтость Rsw = 435000 кН/м²:

 qs = Rsw · Asw = 435 000 кН/м² · 0,000113 м²  = 49,17 кН.

Таким образом мы сразу перекрываем необходимую нагрузку, и одновременно армируем наклонную зону опасного сечения.

А так-же мы выполним отгибы арматуры второстепенной балки в тело главной на расстояние анкеровки не менее 30Ø.

Узел армирования сочленения я попытался показать на картинке ниже:

Главная двухпролётная балка

    Балка рассчитывается как неразрезная 2-х пролётная с шарнирным опиранием на колонны. Её расчёт весьма похож на предыдущую балку, только без среднего пролёта. Итак, согласно книге Голышева А.В. "Проектирование ЖБ конструкций" (стр 301) опыт проектирования позволяет считать балки, пролёты которых отличаются не более, чем на 10%, как равнопролётные. Это условие снова подходит к нашему случаю. Изгибающие моменты в равнопролётных балках, загруженных равномерно распределённой нагрузкой, рекомендуется определять по cледующим формулам (по книге Голышева п.п. 6.104 ... 6.107):

Момент в пролёте АВ и на опоре A:   M = 9ql²/128 = 9 · 35,83 · 6,708² / 128 = 113,4 кН·м

Момент в пролёте ВС и на опоре С:   M = 9ql²/128 = 9 · 35,83 · 7,026² / 128 = 124,4 кН·м

Опорный момент над опорой В:      М = ql²/8 = 35,83 · 7,026² / 8 = 221,1 кН·м

Величина поперечных сил на опоре А: Qa = 3 ql / 8 = 3 · 35,83 · 6,708 / 8 =  90,1 кН

Величина поперечных сил на опоре С: Qс = 3 ql /8 = 3 · 35,83 · 7,026 / 8 = 94,4 кН

Величина поперечных сил на опоре В слева: Qbл = 5 ql1/8 = 5 · 35,83 · 6,708 / 8 = 150,2 кН

Величина поперечных сил на опоре В справа: Qbп = 5 ql2/8 = 5 · 35,83 · 7,026 / 8 = 157,3 кН

 

Сумма опорных реакций должна быть равной суммарной распределенной нагрузке на всей длине балки. Проверим:

Qa + Qbл + Qbп + Qс = 90,1 + 150,2 + 157,3 + 94,4 = 492 = q · 13,73. - всё правильно!

Подбираем сечение продольной арматуры по алгоритму, описанному в расчёте плиты. Для этой балки нам нужно вычислить дважды сечение арматуры: для нижнего ряда в пролёте, и для верхнего ряда над опорой В.

 

Нижняя арматура главной двухпролётной балки. 

 Входные данные:

  • М1 = 113,4 кН·м,

  • М2 = 124,4 кН·м,

  • рабочая высота балки: h0 = 0,56 м,

  • ширина балки: b = 0,3 м.

 

Считаем для максимального момента.

αm = M3 / (Rb b ho²) = 124,4 / (17000 · 0,3 · 0,56²) = 0,08

Коэффициент αr зависит только от класса бетона и арматуры, следовательно он такой же, как и в расчёте балки выше:

ξr = 0,547,    αr = 0,397

αm < αr, значит сжатая арматура не нужна.

Вычисляем коэффициент η :

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√(1-2·0,08)) = 0,959

Вычисляем площадь растянутой арматуры:

As = M / (Rs ho η ) = 124,4 / (435000 · 0,56 · 0,959) = 0,00053 м² = 5,3 см²

У нас в наличии имеется арматура диаметром 10, 12 и 16 мм. Площадью сечения соответственно:

As10 = пR² = 3,14 · 0,6² = 0,785 см²;     As12 = 1,13 см²;     As16 =  2,01 см².

Необходимо либо 7 прутов 10-ки (As = 5,5), либо 5 прутов 12-ки (As = 5,6), либо 3 прута 16-ки (As = 6,03). При ширине сечения 300 мм - защитный слой с двух сторон 2 х 30 мм остаётся 240 мм для размещения арматуры. Принимаем армирование 3-я прутами диаметром 16 мм, As = 6,03 см².

Расчёт для первого пролёта требует As = 4,84 см² арматуры, принимаем такое же армирование - 3 х Ø 16 мм.

 

Верхняя арматура главной двухпролётной балки. 

Входные данные:

  • М = 221,1 кН·м,

  • h0 = 0,56 м,

  • b = 0,3 м.

αm = M / (Rb b ho²) = 221,1 / (17000 · 0,3 · 0,56²) = 0,138

η = 0,5 (1+√(1-2αm)) = 0,5·(1+√(1-2·0,138)) = 0,925

As = M / (Rs ho η ) = 221,1 / (435000 · 0,56 · 0,925) = 0,000981 м² = 9,81 см²

Из конструктивных соображений принимаем армирование двумя прутами диаметром 16 мм вдоль верхних углов всей балки а над опорой В добавляем ещё 3 прута диаметром 16 мм. As = 10,05 см². Над опорой получается армирование 5 х Ø16 мм.

 

Проверяем прочность бетона по сжатой полосе между наклонными трещинами у опоры, где действует наибольшая поперечная сила, по условию:

Q ≤ 0,3 φw φb Rb b ho

Наибольшая поперечная сила действует над опорой В справа: 

Qbп = 0,6ql = 0,6 · 35,83 · 7,026 =  151,1 кН

где φw - коэффициент, учитывающий влияние поперечной арматуры. Поскольку армирование не определено, φw = 1;

φb - коэффициент, учитывающий работу сжатого бетона; φb = 1- 0,01 · Rb = 0,83.

151,1 кН ≤ 0,3 · 1 · 0,83 · 17000 · 0,3 · 0,56 = 711 кН

Прочность обеспечивается, значит принятые размеры бетонного сечения достаточны.

 

Поперечное армирование

Выясняем необходимость постановки поперечного армирования по расчету из условия:  Qbп ≤ Qmin,

где Qmin - расчетная поперечная сила, воспринимаемая железобетонным элементом без поперечной арматуры.

Расчетную поперечную силу Qmin определяем по формуле:

Qmin = ϕс · (1+ ϕf + ϕn) · Rbt · b · ho

но не более Qm = 1,5 · ϕс ·Rbt · b · ho

где коэффициент ϕс принимается равным:

 для тяжелого бетона — 0,6;
 для мелкозернистого — 0,5.

ϕf - коэффициент, учитывающий влияние сжатых полок таврового сечения = 0:

 

ϕn - коэффициент, учитывающий влияние продольных сил: ϕn = 0, так как продольная сила отсутствует.

Qmin = 0,6 · (1+0+0) · 1200 · 0,3 · 0,54 = 116,64 кH

Qm = 1,5 · 0,6 ·1,2 · 0,3 · 0,54 = 175 кН

Поскольку Qmin = 116,64 кН < Qbп= 151,1 кН, то хомуты требуются по расчету. Димаетр хомутов минимально допустимый 5 мм, у нас в наличии 6 мм. В приопорных участках шаг поперечных стержней не должен превышать h/2 = 60/2 = 30 см и не более 15 см. Принимаем сначала 15 см.

 

Вычисляем интенсивность усилий в поперечных стержнях на единицу длины балки:

qs = Rsw · Asw / S = 290 000 кПа · 0,00005652 м²  / 0,15 м = 109,3 кН·м

где Rsw - сопротивление растянутой поперечной арматуры класса АIII = 290 МПа;

Asw - площадь сечения арматуры хомута (удвоенная). Asw = 3,14*0,3² · 2 = 0,5652 см²;

S - расстояние между хомутами в этой проекции, S = 15 cм.

Минимальная интенсивность:

qsmin = фb3 · Rbt · b / 2 = 0,6 · 1200 · 0,3 /2 = 108 кН·м

Требуемая интенсивность:

qsтр = Q² / (4 · Mb) = 151,1² / (4 · 225,8) = 25,28 кН·м

где Mb = фb2 · Rbt · b · ho² = 2 · 1200 · 0,3 · 0,56² = 225,8 кН·м

Так как принятая интенсивность (109 кН/м) больше минимальной (108 кН/м) и требуемой (25,3 кН/м) оставляем шаг хомутов S = 15 см.

 

Ширину приопорных участков вычислим по проекции опасной наклонной трещины на продольную ось балки.

Длина проекции опасной наклонной трещины:

с0 = √(Mb/qs) = √(225,8 / 109,3) = 1,44 м

Учитывая границы с0 в расчёте (ho < c0 < 2ho), принимаем с0 = 1,12 см. Несущую способность наклонного сечения проверяем по условию:

Qmax = Mb / c0 + qs · c0 = 225,8 / 1,12 + 109,3 · 1,12 = 324 кН

Qmax (324 кН) > Qbп (151,1 кН).

Условие выполняется, несущая способность наклонного сечения обеспечивается.

 

Определение мест обрыва верхней арматуры главной двухпролётной балки.

    Места обрыва или отгиба стержней назначаются в соответствии с эпюрами изгибающих моментов. Для этого на огибающей эпюре изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенной в соответствующем масштабе, строится в том же масштабе так называемая эпюра материалов, представляющая собой эпюру моментов Мu, которые может воспринять балка имеющимся в её сечении количеством арматуры.
Несущая способность сечений балки по арматуре определяется по формуле:

Mu = Rs As η ho = 435000 · 0,001 · 0,923 · 0,56 = 226 кН·м.

где ho - уточнённое значение рабочей высоты сечения

η - коэффициент, определяемый по формуле: η = 1 - 0,5ξ  = 1 - 0,5 · 0,153 = 0,923

где ξ = Rs As / (Rb b ho) = 435 · 10,05 / (17 · 30 · 56) = 0,153.

При построении эпюры материалов считают, что обрываемый стержень необходимо завести за точку теоретического обрыва, где он уже не нужен по расчету, на расстояние не менее 20d для анкеровки.

       Теперь нам необходимо вычислить Mu для двух прутов арматуры, которые идут без обрыва через всю балку:

ξ = 435 · 2,01 / (17 · 30 · 56) = 0,0306

η = 1 - 0,5 · 0,0306 = 0,985

 Mu = Rs As η ho = 435 · 2,01 · 0,985 · 56 = 48,2 кН·м.

Полученное значение будет соответствовать обрыву (отгибу) стержня в сечении с меньшим изгибающим моментом. 

 

Прогиб балки 

   Следуя алгоритму, описанному в расчёте второстепенной балки, и формулам прогибов, описанным в расчёте трёхпролётной балки, вычислил прогибы. Для балок длинее 6 м предельный прогиб составляет 1/250.

  • Прогиб для левой балки:    f = 9 мм. Допустимый прогиб: 6708 /250 = 26,8 мм.

  • Прогиб для правой балки:  f = 12,4 мм. Допустимый прогиб: 7026 / 250 = 28,1 мм.

Прогибы для обоих балок вдвое меньше максимально допустимого, значит арматуры в балке достаточно.

 

Расчёт двухпролётной балки на калькуляторе 

   Разобравшись с расчётом двухпролётных балок с неравными пролётами я включил расчёт этих балок в свой калькулятор. И, конечно же, первым делом перепроверил расчёты для этой двухпролётной балки. 

     Поскольку калькулятор умеет счиать неравнопролётные балки, то, конечно, результаты расчётов будут несколько различаться по сравнению с моими допущениями в этой статье по поводу их равнозначности. Однако, эти различия оказались (чего и следовало доказать) не такими уж существенными и, если проигнорировать всякие цифры в процессе расчёта, результат расчёта армирования оказался точно таким же! 

    Картинку с рассчитанными эпюрами изгибающего момента и прогибов прилагаю =)

Расчёт двухпролётной ЖБ балки, калькулятор

      Этот гараж - моё самое грандиозное сооружение из монолитного бетона и арматуры в жизни! Опыт, сравнимый разве что с восхождением на Эльбрус. Для профессионала, конечно, это всё раз плюнуть, но когда ты последний раз в школе 20 лет назад решал квадратное уравнение, и в общем-то, больше математика тебе не нужна была - это серьёзная задачка ))   
      Фотографии с процесса создания опалубки и заливки можно посмотреть тут и тут.

Спасибо всем, кто помогает проекту! Любая ваша помощь значима!

Российский руб.

© 2015 «Project - House».  

Сайт Дмитрия Петрова