Расчёт двутавровой балки (ручной)

   Гравитационное поле Земли действует так, что любая нагрузка, приложенная к конструкции, стремится по кратчайшей траектории перераспределиться на фундамент. По этому принципу распределенная нагрузка, приложенная к верхнему поясу балки, трансформируясь во внутренние напряжения в теле балки, стремится быть переданной на опоры. Внутри балки таким образом устанавливается полное упругое равновесие траекторий главных сжимающих и главных растягивающих напряжений. При этом сжимающие напряжения имеют арочную траекторию, а растягивающие - траекторию висячей растянутой нити. Указанные траектории являются местами наибольшей их концентрации, вокруг которых образуются так называемые балластные зоны. Такая картина приводит к соображениям, что массивная балка постоянного прямоугольного сечения не рациональна. Идеальной формой балки является двутавр постоянного или переменного сечения, причем полка расширяется к центру пролета, а стенка, наоборот, утолщается к опорам. Однако, такая балка крайне сложна в изготовлении, поэтому используют её упрощённую версию - двутавр постоянного сечения. Именно его и будем рассчитывать.

    Упрощённо говоря, в двутавровой балке нижняя полка работает на растяжение, верхняя - на сжатие, а стенка воспринимает поперечную силу. Полки обычно делают из доски хвойных пород или LVL бруса, а стенку - из влагостойкой фанеры или OSB-плит и всё это проклеивают в единую консрукцию. Таким образом исходными данными для расчётов будут характеристики этих материалов. В устаревших документах вся древесина делилась на три класса прочности и было всё довольно просто, но действующий стандарт значительно всё усложнил.

В среднем, если упростить до трёх привычных классов, то можно сопоставить I класс с С27, II класс - С22, III класс - С16.

Нормативные документы

    Проектирование и расчёт любых деревянных конструкций регламентируется специальными документами, сводами норм, правил и техническими кодексами. За всё время существования строительной отрасли их существует великое множество, и разобраться в них, порой, очень не просто. Некоторые нормы заменяются новыми, некоторые отменяются совсем, вводятся новые требования, поправки, дополнения и т.д. В основном, на сайте я руководствовался документом СНБ 5.05.01-2000, однако, на данный момент в Беларуси действует другой документ: ТКП 45-5.05-275-2012 "Деревянные конструкции. Правила расчёта". В этом документе имеется раздел "Указания по проектированию балок", в котором, в свою очередь, записано: "Расчет клеефанерных балок по предельным состояниям несущей способности необходимо выполнять в соответствии с ТКП EN 1995-1-1 Проектирование деревянных констркуций. Общие правила". Последний документ (Технический Кодекс устоявшейся Практики) уже полностью идентичен европейскому стандарту EN 1996-5:2008 Eurocode 5: Design of timber structures - Part 1-1, на что указывают буковки EN в названии документа (введён в РБ в 2009 году). 

     Из-за того, что первоначально я проводил все вычисления по документам, действующим до 2009 года, а некоторые документы в бесплатном доступе найти и вовсе невозможно (т.к. они являются интеллектуальной собственностью комитетов по стандартизации и распространяются исключительно за деньги), некоторая из приведённой информации может быть не актуальна, или соответствовать устаревшим документам.

Требования к клеям

      Немаловажным моментом является качество клеевого шва, однако клея я разберу в другой статье. Сейчас лишь отмечу требования к клеям, которые прописаны в своде норм СНБ 5.05.01-2000
     6.3 Требования к клеям
  6.3.1 Для изготовления деревянных клееных конструкций должны применяться клеи, способные образовывать соединения такой прочности и долговечности, чтобы целостность связи сохранялась в течение предполагаемого срока службы конструкции.
  6.3.2 Клеи должны обеспечивать прочность клеевых соединений для сосны и ели при скалываниивдоль волокон древесины по ГОСТ 15613.1 через трое суток после склеивания не менее 6,5 МПа.
"

 

В действующем ТКП EN 1995-1-1-2009 требования таковы:

    (1)Р Клеи должны обеспечивать соединения такой прочности и долговечности, чтобы сохранялась целостность связи в соответствии с классом эксплуатации на протяжении всего срока службы конструкции.
    (2) Клеи, которые соответствуют типу I по спецификации, как оговорено в EN 301, могут применяться при всех классах эксплуатации.
      (3) Клеи, которые соответствуют типу II по спецификации, как оговорено в EN 301, могут применяться только при классах эксплуатации 1 или 2 и при отсутствии длительного воздействия температуры свыше 50 °C.

К сожалению, документ EN 301 найти не представляется возможным, поэтому использовать эту классификацию в частном порядке так-же невозможно. Вопрос классификации и выбора клея подробно расписан в этой статье.

 

Исходные данные для расчёта

      Для примера, я буду проводить расчёт для двутавровой балки:

  • общая высота 350 мм;

  • фанерная стенка толщиной 10 мм;

    • Растяжение в плоскости листа вдоль волокон - 40​ МПа;

    • Сжатие в плоскости листа вдоль волокон - 27,7 МПа;

    • Изгиб вдоль волокон - 42,9 МПа;

    • Модуль упругости при растяжении вдоль волокон - 9333 МПа;

  • полки сечением 75х50 мм из сухой хвойной доски, сорт С22;

    • Растяжение вдоль волокон - 13 МПа;​

    • Сжатие вдоль волокон - 20 МПа;

    • Изгиб - 22 МПа;

    • Модуль упругости вдоль волокон - 10 ГПа;

  • глубина паза для вклейки фанеры - 20 мм;

  • пролёт 4 метра;

  • шаг балок примем 1,25 м, для простоты укладки фанеры или OSB на перекрытие;

  • нагрузка равномерная нормативная длительная 150 кг/м² (1,5 кПа), по СНиП 2.01.07-85 для квартир;

  • условия эксплуатации - в отапливаемом помещении при влажности до 65 %.

  На 2016 год в Беларуси действует ТКП 45-5.05-275-2012, согласно которому: "балки следует расчитывать по предельным состояниям несущей способности и предельным состояниям эксплуатационной пригодности в соответствии с требованиями ТКП EN 1995-1-1 (разделы 6 и 7)[п. 9.2.3]. Подрезки, скосы и вырезы в балках допускаются в том случае, если они удовлетворяют требованиям ТКП EN 1995-1-1 (6.5) [п. 9.2.4]".

 

Коэффициенты

    Перед началом расчётов необходимо учесть условия работы балки и всяческие ослабляющие коэффициенты, принимаемые практически для всех основных характеристик материала полок и стенки.

     Согласно ТКП EN 1995-1-1 п. 2.4.1 все расчётные прочностные характеристики и расчётные сопротивления (несущая способность) Хd рассчитываются так:

X= kmod ­· Xk / γm

где Хk - нормативная величина прочностной характеристики или несущая способность;

       γm - частный коэффициент свойств материала;

       kmod - коэффициент модификации, учитывающий эффект длительности нагрузки и содержания влаги.

Расчётные характеристики жёсткости элемента (модуля упругости E или модуля сдвига G) определяются по формуле:

Ed = Emean / γm

где Emean - среднее значение модуля упругости;

       γm - частный коэффициент свойств материала.

  • Коэффициент γm - частный коэффициент свойств материала приведён в таблице НП. 2.3 ТКП EN 1995-1-1.

Для OSB этого коэффциента в Национальном Приложении нету, но он есть в самом стандарте:  для OSB γm = 1,2.

Двутавровая балка

    Согласно старому СНБ все величины расчётных сопротивлений фанеры, OSB, доски и LVL следует определять умножением на kmod, kt и ks, а модуль упругости только на kmod и kt. В российском Своде Правил (СП 64.13330.2011) модуль упругости при расчете по предельным состояниям первой группы следует ещё умножать на коэффициент mdc, равный для древесины 0,75 и для LVL 0,8. А расчётные сопротивления древесины дополнительно умножать на коэффициент md = 0.8 для конструкций, в которых напряжения в элементах, возникающие от постоянных и временных длительных нагрузок, превышают 80% суммарного напряжения от всех нагрузок (п. 5.2). Так же российский СП немного отличается в величинах других коэффициентов, однако существенно на точность расчёта это не влияет. Я буду руководствоваться ТКП EN 1995-1-1.

  • Коэффициент kt для конструкций, эксплуатируемых при установившейся температуре воздуха:

    • до +35°С  kt = 1;

    • до +50°С  kt = 0,8.

    • Для промежуточных значений температуры коэффициент kt принимается по интерполяции.

  • Коэффициент ks 

    • для элементов, подвергнутых глубокой пропитке антипиренами под давлением ks = 0,9;

    • для непропитанных ks = 1.

Оба предыдущих коэффициента равны единице, потому в дальнейшем их учитывать их не будем.​

  • Коэффициент kmod определяют по таблице 3.1 в зависимости от класса эксплуатации и класса длительности действия нагрузки:

Однако, как всегда, не всё так просто. Это универсальные европейские значения коэффициента, которые на региональном уровне могут изменятся. В соответствии с Национальным Приложением в Беларуси используется разделение на 5 классов эксплуатации, а не на три, а количество классов длительности нагрузки у нас 4, а не 5. Поэтому, я приведу ещё национальную таблицу величин коэффициента kmod для цельной и клееной древесины и фанеры. Но и европейскую табличку тоже стоит оставить во внимании, так как в национальном приложении нет упоминания об OSB.

    Для этой таблицы следует дать пояснения, чтобы знать, какой коэффициент выбрать.

  • Класс длительности нагружения. Во-первых, для расчетов на прочность и деформативность нагрузки должны быть причислены к одному из классов длительности:

    • Постоянная - действующая более 10 лет (собственный вес конструкций);

    • Длительная - действующая от 6 месяцев до 10 лет (складирование и накопление материалов);

    • Среднесрочная - действующая от 1 недели до 6 месяцев (полезная нагрузка, снег);

    • Кратковременная - действующая менее 1 недели (снег, ветер);

    • Мгновенная - гололёдная, ветровая при гололёде, от натяжения проводов, монтажная.

Это международная классификация. Но в каждой отдельной стране могут быть свои региональные требования. Так, для Беларуси классификация воздействия нагрузки включает в себя только 4 класса (Национальное приложение к КТП EN 1995-1-1-2009, Таблица НП.1):​

    • Постоянная - действующая более 10 лет (собственный вес конструкций);

    • Длительная - действующая от 3 месяцев до 10 лет (складирование и накопление материалов);

    • Кратковременная - действующая менее 3 месяцев (снег, ветер);

    • Мгновенная - гололёдная, ветровая при гололёде, от натяжения проводов, монтажная.

​Конечно, обычно существует множество сочетаний нагрузок, например: снеговая и от собственной массы. Для правильного выбора класса в ТКП EN 1995-1-1-2009 есть пункт 3.1.3, в котором написано:
   Если сочетание нагрузки состоит из воздействий, принадлежащих разным классам длительности, то следует принимать коэффициент (kmod), соответствующий воздействию меньшей длительности, например для комбинации собственного веса и кратковременной нагрузки применяется значение kmod, соответствующее кратковременной нагрузке..

     Так, для кровли класс нагружения кратковременный, для межэтажного перекрытия - класс длительный. 

  • Класс условий эксплуатации. В зависимости от температурно-влажностных условий эксплуатации сооружения подразделяются на пять классов (в соответствии с Национальными требованиями в приложении к ТКП EN 1995)

    Итак, если мы проектируем двутавровую балку для межэтажного перекрытия, выбираем класс условий эксплуатации - 2, класс длительности нагружения - длительный и получаем коэффициент kmod = 0,65. 
Если проектируем двутавровую стропильную ногу, то класс 3 и класс длительности - кратковременный - kmod = 0,70.
Если это будет балка, несущая какую-то стену, находящаяся вне помещения, то класс условий эксплуатации - 4, а класс нагружения уже будет постоянным, коэффициент получается практически минимальным - kmod = 0,45. 

  • Коэффициент надёжности по нагрузке (СНиП 2.01.07-85, п.3.7) для равномерно распределённых нагрузок следует принимать:

    • γf = 1,3 при полном нормативном значении менее 2,0 кПа (200 кгс/м2);

    • γf = 1,2 при полном нормативном значении 2,0 кПа (200 кгс/м2) и более;

  • Коэффициент, учитывающий снижение расчетного сопротивления материала стенки в стыке km = 0,8.

 

Методика расчёта балок

Модуль упругости фанеры стенки Ест = Еф / ym = 9333 / 1,2  = 7777 МПа.

Модуль упругости доски полки Еп = Ед / ym =10000 / 1,32 = 7576 МПа.

Сопротивление растяжению доски полки Rp = kmod*R/ym = 0.65 * 13 / 1.4 = 6.03 МПа.

Сопротивление сжатию доски полки Rc = kmod*R/ym = 0.65 * 20 / 1.22 = 10.65 МПа.

Сопротивление фанеры срезу перпендикулярно плоскости листа Rср.ст = kmod*Rср/ym = 0.65 * 6 / 1.1 = 3,55 МПа.

Сопротивление фанеры скалыванию в плоскости листа Rск.ст = kmod*Rск/ym = 0.65 * 0,8 / 1.3 = 0,4 МПа.

  • Геометрические характеристики

   Двутавровые балки и стойки образованы разнородными материалами, поэтому их рассчитывают с учетом различия модулей упругости древесины поясов и стенки по приведённым геометрическим характеристикам. Приведение выполняется к материалу поясов, как к наиболее напряженному, а также, при необходимости, к материалу стенок. Но прежде, чем высчитывать приведённую площадь всей балки, необходимо посчитать самую банальную площадь сечения стенки и полок:

Аст = hст * bст = 29 * 1 = 29 см²

Ап = hп * b - hпаз * bст = 7,5 * 5 - 2 * 1 = 35,5 см²

Теперь считаем приведённое к материалу поясов счение балки:

Апр = Ап + Аст * Ест / Еп = 71 + 29 * 7777 / 7576 = 100,8 см²

Положение центра тяжести нижнего пояса относительно плоскости края:

y = (hп * b * hп/2 - hпаз * bст * (hп - hпаз/2)) / (b * hп - hпаз * bст)

y = (5 * 7,5 * 5/2 - 2 * 1 * (5 - 2/2)) / (7,5 * 5 - 2 * 1) = 2,42 см

Момент инерции полки относительно оси Х:

Iп = (b * hп³ / 12) - (bст * hпаз³ / 12) + Ап * (h / 2 - у)²

Iп = 7,5 * 5³ / 12 - 1 * 2³ / 12 + 35,5 * (35 / 2 - 2,42)² = 8150,4 см^4

Момент инерции стенки относительно оси Х:

Iст = (bст * hст³ / 12) = 1 * 29³ / 12 = 2032,4 см^4

Теперь считаем приведённый к материалу полок момент инерции балки:

Iпр = Iп * 2 + Iст * Ест / Еп = 8150,4 * 2 + 2032,42 * 7777 / 7576 = 18387 см^4

На всякий случай считаем момент инерции балки приведённый к материалу стенки:

Iпр.ст = Iст + Iп * 2 * Еп / Ест = 2032,4 + 8150,4 * 2 * 7576 / 7777 = 17912 см^4

Считаем приведённый к материалу полок момент сопротивления сечения:

Wпр = Iпр * 2 / h = 18387 * 2 / 35 = 1050 см³ = 0,00105 м³

И приведённый к материалу стенок момент сопротивления сечения:

Wпр.ст = Iпр.ст * 2 / h = 17912 * 2 / 35 = 1024 см³ = 0,001024 м³

Ещё нам понадобится статический момент сдвигаемой части сечения, приведённого к материалу полок:

Sпр = Aп * (h - 2 * y) / 2 + bст * hст² / 8 * Ест / Еп = 35,5 * (35 - 2 * 2,42) / 2 + 1 * 29² / 8  * 7777 / 7576 = 643 см³

и статический момент сдвигаемой части сечения, приведённого к материалу стенки:

Sпр.ст = Aп * (h - 2 * y) / 2 * Еп / Ест + bст * hст² / 8 = 35,5 * (35 - 2 * 2,42) / 2 * 7576 / 7777 + 1 * 29² / 8 = 627 см³

        в формулах приняты следующие сокращения:

Aст - площадь сечения стенки

Ап - площадь сечения полки

hст - высота фанерной стенки, 29 см

bст - толщина фанерной стенки, 1 см

b - ширина полки (и всей балки), 7,5 см

hп - высота полки, 5 см

h - высота всей балки, 35 см

hпаз - глубина паза в полке для вклеивания стенки, 2 см.

  • Статический расчёт

     В составе перекрытия и покрытия балка работает в условиях действия равномерно распределенной погонной или сосредоточенной нагрузки. Расчетная схема балки – шарнирно опертая балочная конструкция (на данном этапе не будем усложнять задачу многопролётными или консольными вариантами). Максимальный расчетный изгибающий момент, действующий в середине пролета балки, определяется по формуле: 

при равномерно распределенной погонной нагрузке:                М = q * l² / 8

при сосредоточенной в середине пролёта нагрузке:                    М = Q * l / 2

В нашем примере нагрузка равномерно распределённая, 2 кПа при длине пролёта 4 м и шаге балок 1,25 м. Переведём нагрузку с грузовой площади в погонную:                             q = 1,5 * 1,25 * yf = 2,5 кПа.

М = 2,5 * 4² / 8 = 5 кН*м

  Максимальное расчетное значение поперечной силы, действующей в опорном сечении, при равномерно распределенной нагрузке:

Q = q * l / 2 = 2,5 * 4 / 2 = 5 кН

  • Расчет прочности нижней полки

  Несущая способность по нормальным напряжениям определяется из условия прочности нижнего пояса на растяжение при изгибе. Поскольку все данные для условия нам известны, проверяем условие:

M / Wпр ≤ Rp                    5 / 0,00105 = 4762 кПа = 4,76 МПа ≤ 6,03 МПа

Условие выполняется! Использвание доски первого сорта в нижней полке существенно повысит запас прочности:

4,76 МПа ≤ 7.88 МПа

однако расчёт мы делаем и без того с учётом коэффициента надёжности, так что 2 сорт тоже подходит. 

  • Расчет прочности верхней полки

    Верхняя полка работает на сжатие с изгибом, и её прочность должна обеспечивать условие:

M / (Wпр * φ) ≤ Rс

Эту формулу несколько осложняет коэффициент продольного изгиба φ, формула расчёта которого зависит от гибкости элемента. Его определение по СНБ довольно туманно, потому я использую формулу из СП 64.13330.2011 п.6.3. Коэффициент продольного изгиба φ следует определять по формулам:

при гибкости элемента λ ≤ 70:                            φ = 1 - а (λ/100)²

при гибкости элемента λ > 70:                            φ = A / λ²

где коэффициент а = 0,8 для древесины и а = 1 для фанеры и LVL;

       коэффициент А = 3000 для древесины и А = 2500 для фанеры и LVL.

Гибкость элемента двутавровой балки  λ в свою очередь определяют по формуле:

λ = SQR(12) * (Lc/b)

где Lc - расстояние между сечениями, где предотвращена потеря местной устойчивости полки при сжатии;
       b -ширина балки:

Допустим, что двутавры мы установим с шагом 1,25 м без промежуточных распорок между ними - только на концах.  Это значит, что Lc = L = 4 м. Считаем гибкость полки:

λ = 3.464 * 4 / 0.075 = 185

Гибкость элемента сама по себе является довольно важным показателем элемента, потому существуют ограничения на предельное значение λ. они представлены в таблице ниже:

График для определения расчетных сопротивлений фанеры при растяжении под углом

Из таблицы видно, что допустимая гибкость для сжатых поясов не должна быть выше 120, следовательно, максимальное расстояние Lc между распорками составит:

Lc = 120 * b / SQR(12) = 120 * 0.075 / 3.464 = 2.6 м

Устанавливаем промежуточную распорку между нашими двутаврами ровно посередине. Это будет означать, что свободная длина элемента теперь  Lc = 2 м. 

λ = 3.464 * 2 / 0,075 = 92.4

Поскольку теперь у нас гибкость элемента менее 120 но более 70, для расчёта коэффициента продольного изгиба применяем формулу: 

φ = А / λ² = 3000 / 92,4² = 0,351

и, наконец-то, считаем прочность верхнего пояса:

M / (Wпр * φ) ≤ Rс       5 / (0,00105 * 0,351) = 13567 кПа = 13,6 МПа ≤ 10,65 МПа.

Условие НЕ выплняется, попробуем добавить перемычек для закрепления сжатого пояса. Установим две перемычки с шагом 1,33 м. Гибкость при такой длине Lc:    λ = 3.464 * 1.33 / 0,075 = 61.6

Коэффициент φ теперь считается по первой формуле:

φ = 1 - 0.8 * (61.6/100)² = 0,696

Ещё раз пересчитываем прочность сжатого пояса:

M / (Wпр * φ) ≤ Rс       5 / (0,00105 * 0,696) = 6842 кПа = 6,85 МПа ≤ 10,65 МПа.

Теперь условие выполняется с достаточным запасом прочности. 

   Если бы мы пренебрегли рекомендацией по гибкости и оставили балки без промежуточного раскрепления, то наша двутавровая балка вышла бы из плоскости изгиба и, изогнувшись "вертолётом" посередине, не выдержала бы нагрузку. Не стоит недооценивать распорки между балками! 

 

  • Несущая способность по касательным напряжениям

  Несущая способность по касательным напряжениям определяется из условия прочности стенки на срез по нейтральной оси по формуле:

Q*Sпр.ст / (Iпр,ст * bст) ≤ Rср.ст           5 * 0,000627 / (0,00017912 * 0,01) = 1750 кПа = 1,75 МПа ≤ 3,55 МПа

где Q = максимальная расчетная поперечная сила;

Sпр,ст и Iпр,ст – статический момент сдвигаемой части и момент инерции приведенного к материалу стенки сечения;

bст – толщина стенки;

Rср,ст – расчетное сопротивление материала стенки срезу перпендикулярно плоскости листа.

Условие выполняется, прочности стенки по касательным напряжениям достаточно.

  • Прочность стенки по нормальным напряжениям

     Стенка, помимо работы на срез, воспринимает также и нормальные напряжения. Волокна наружных слоев плиты рекомендуется располагать вдоль оси балки. Проверка прочности стенки по нормальным напряжениям выполняется по формуле:

M / Wпр.ст ≤ Rр.ст * km         5 / 0,001024 ≤ 21,6 * 0,8         4,8 МПа ≤ 17,2 МПа

Условие выполняется, прочность стенки по нормальным напряжениям обеспечена.

 

  • Прочность на действие главных растягивающих напряжений

     Прочность стенки в опасном сечении на действие главных растягивающих напряжений в балках двутаврового и коробчатого сечений следует проверять по формуле:

σст/2 + SQR ((σст/2)² + τст²) ≤ Rр.ф.а*km

где σст - нормальное напряжение в стенке от изгиба на уровне внутренней кромки поясов;

       τст - касательные напряжения в стенке на уровне внутренней кромки поясов;

       Rф.а - расчетное сопротивление фанеры растяжению под углом α, определяемое по графику рисунка слева

       α - угол, определяемый из зависимости:

tan 2α = 2τст / σст

Нормальные и касательные напряжения, в фанерной стенке на уровне внутренней кромки растянутого пояса:

σст = M * 0,5 hст / Iпр = 5 * 0,5 * 0,25 / 0,00018387 = 3,4 МПа;
τст = Q * Sпр / (Iпр * Σb) = 5 * 0,000643 / (0,00018387 * 0,01) = 1,75 МПа.

здесь hст - высота стенки между внутренними кромками полок;

Σb - сумма толщин стенок (для двутаврового сечения - толщина стенки).

α = 0,5 * arctan (2τст / σст) = 0,5 * arctan (2 * 1.75 / 3.4) = 22,9°

Rр.ф.а (при угле α 22,9°) = 7 МПа * km = 5,6 МПа

3,4 / 2 + SQR ((3,4 / 2)² + 1,75²) = 4,14 МПа ≤ 5,6 МПа

Условие выполняется, прочность фанерной стенки обеспечена.

  • Устойчивость стенки

    До того, как будет проведен детальный анализ на потерю устойчивости, необходимо убедиться, что:

h  70 * b

Поскольку для полок двутавровых балок в частном домостроении применяют в основном материал толщиной от 50 до 150 мм, а высота балок ограничивается 400 - 700 мм, то эта проверка практически всегда выполняется. 

Для нашей балки условие выглядит так:            35 ≤ 70 * 7,5 

   Расчёт на потерю устойчивости должен выполнять следующее условие:

для h ≤ 35 b:                                                    Fст ≤ b * h * (1 + hп/ h)*Rс

для 35 b ≤ h ≤ 70 b:                                       Fст ≤ 35 * b² * (1 + hп/h)*Rc

где Fст -  расчётная поперечная сила, действующая на каждую стенку балки, в нашем случае Fст = Q = 5 кН;

       h - высота балки = 0,35 м;

       b - ширина полки = 0,075 м;

       hп - высота полки = 0,05 м;

       Rc - сопротивление древесины скалыванию вдоль волокон = 0,65*1,8 /1 ,3 = 0,9 МПа = 900 кПа.

Поскольку в нашем случае 35 < 35*7.5, применяем первую формулу:

5 ≤ 0,075*0,35*(1+0,05/0,35)*900 = 27

Условие выполняется, устойчивость стенки обеспечена.

  • Прочность по клеевому шву

     Проверка прочности по клеевому шву между поясами и стенкой проверяется по формуле:

для hп ≤ 4 bef :                                                 Q * Sпр.ст / (Iпр.ст * (hпаз*2+bст)) ≤ Rск.90

для hп > 4 bef :                                Q * Sпр.ст / (Iпр.ст * (hпаз*2+bст)) ≤ Rск.90 * (4 * bef / hп)^0.8

где hп - высота полки = 0,05 м;

       Rск,90 - расчётное сопротивление древесины скалыванию = 0,65 * 1 / 1,3 = 0,5 МПа;

       bef - ширина полки балки в коробчатых балках, или b/2 для равнополочных двутавровых балок.

Поскольку в нашем случае 0,05 < 4*0,075/2=0,15, применяем первую формулу:

5 * 0,000627 / ( 0,00017912 * (0,02 * 2 + 0,01) = 0,35 МПа ≤ 0,5 МПа 

Условие выполняется, прочность по клеевому шву обеспечена. Данный расчёт заодно показывает, какую прочность должен обеспечивать клей. В нашем примере 500 кПа = 5 кг/см² - это довольно небольшая нагрузка. Например, клей ПВА Момент "Столяр" по заявлениям на этикетке обеспечивает прочность склеивания 30 кг/см² (2,9 МПа). Однако, в вопросе выбора клеёв важную роль приобретает их влагостойкость, поскольку при увлажнении обычные ПВА клея катастрофически теряют прочность - растворяются в воде!

  • Прогиб. Определение несущей способности из условия жесткости балки

   Согласно Своду Норм и Правил деформации деревянных конструкций или их отдельных элементов следует определять с учетом сдвига и податливости соединений, однако клеевые соединения, всё по тем же документам, следует рассматривать как неподатливые соединения. Наибольший прогиб шарнирно-опертых балочных изгибаемых элементов постоянного сечения определяется по формуле:

f0 = 5 * q * l² * l² / (384 * Eп * Iпр) = 5 * 0,0025 * 4² * 4² / (384 * 7576 * 0,00018387) = 0,006 м = 6 мм

    Согласно ТКП 45-5.05-146-2009, при расчёте прогиба клеефанерных плит и панелей следует вводить дополнительный понижающий коэффициент жесткости сечения равный 0.7, который, однако, не распространяется на клеефанерные балки. В некоторых методичках его ошибочно считают для балок тоже.

  Для учёта деформаций сдвига от равномерно распределенной погонной нагрузки в балках прямоугольного сечения эту величину необходимо умножить на дополнительные коэффициенты:

f = f/ k* [1+c * (h / l)² ]

где h - высота балки (0,35 м); 

       l - длина пролёта в свету (4 м);

       k - коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты сечения, k = 1 для балок постоянного сечения;

       c - коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от поперечной силы, зависящий от расчётной схемы балки. Для двутаврового сечения:

с = 38,4*Ап / Аст = 38,4 * 35,5/29 = 47

(По СНБ используется величина 45,3-6,9 = 38,4, однако в СП те же самые цифры, но со знаком "плюс" 45,3 +6,9 = 52,2. При этом в пособии к СНиП II-25-80, использующим СП для примеров расчётов используется знак "минус". В рекомендациях по проектированию двутавровых деревянных балок, разработанных в Уфе для Башкортостана вообще используется значение 76,8. Я буду придерживаться СНБ) :

f = 0.006 / 1 * [ 1 + 47 * (0.35 / 4)² ] = 0,0081 м = 8,1 мм

Строительные нормы регулируют величину прогиба, используя относительные величины. Так, допустимый прогиб балок для межэтажных перекрытий составляет 1/250 от длины пролёта, для чердачных перекрытий и стропильных балок - 1/200. При наличии штукатурки прогиб элементов перекрытий только от длительной временной нагрузки не должен превышать 1/350 пролета. При пролёте 4 метра прогиб 1/250 составит 16 мм. Иными словами, в нашем случае прогиб составляет 4000/8,1 = 1/494, что удовлетворяет всем строительным нормам. 

  • Вывод

    Мы рассчитали двутавровую балку длиной 4 метра, высотой 350 мм под типовую нагрузку 200 кг/м² (с учётом коэффициента запаса q = 195 кг/м²) с шагом 1250 мм по полной программе в соответствии с нормативными документами. Никаких дополнительных рассчётов проектирование такой балки не предусматривает, однако, в реальных условиях всё бывает значительно разнообразнее! Например, балка опирается не на две стены, а на три или четыре. В этом случае балку следует рассматривать как неразрезную многопролётную, и изгибающие моменты будут значительно отличаться от приведённых в этом примере. Так же и нагрузки могут быть совсем не равномерно распределённые, или сосредоточенные да и в принципе расчётная схема балки может отличаться от шарнирно опёртой, например: консоль с одним защемлённым концом.

  • Калькулятор

   Пока специализированный калькулятор конкретно под двутавровые балки я не сочинил, однако предлагаю воспользоваться моим универсальным калькулятором деревянных балок. Он может считать двутавровые балки в довольно большой комбинации нагрузок, расчётных схем и прочих условий, но с определёнными оговорками. В основе работы калькулятора лежит методика, изложенная в российском СП 64.13330.2011, потому данные расчёта калькулятора будут немного отличаться от того, что я сейчас изложил в этой статье (особенно при выборе коэффициентов условий эксплуатации). Кроме того, в калькуляторе предполагается вклеивание стенки между двумя разными досками полки на всю высоту полки, а не вклеивание в паз одной доски - это приводит к накапливающимся различиям в расчёте с самого начала, с определения площадей сечения и моментов инерции и особенно в расчёте прочности клеевого шва (в калькуляторе предполагается вклеивание по всей высоте пояса, т.е. площадь клеевого соединения вдвое больше, чем в этом примере).

    Тем не менее, результат расчёта максимально похожей балки на калькуляторе даёт значение прогиба: 9,5 мм, результат ручного расчёта 8,1 мм, что обусловлено различием в коэффициентах условий эксплуатации, входными данными по классам древесины и некоторыми отличиями в формулах.

     Как результат, прогиб у нашей примерной балки, рассчитанной вручную, немного меньше. В общем, можно смело использовать калькулятор для расчёта!

     Суть различий в расчёте калькулятора и нашего примера изображена на картинке ниже (слева - расчётная схема сечения для калькулятора, справа - наш пример):

Спасибо всем, кто помогает проекту! Любая ваша помощь значима!

Российский руб.

© 2015 «Project - House».  

Сайт Дмитрия Петрова