Что нам нужно рассчитать:

• выдержит ли фанера с таким шагом доски под ней (375 мм)?

• выдержат ли доски при пролёте 1530 мм?

​

    1. Считаем фанеру

В соответствии с СНБ 5.05.01 фанерную обшивку таких плит проверяют на изгиб, как пластину, заделанную в местах опирания на деревянные рёбра, с коэффициентом надёжности, равным 1,2. Формула прогиба для такой схемы: f=q·lᶣ/(384·E·J).  Модуль упругости Е фанеры поперёк наружных слоёв 6000 МПа, длина пролёта l = 0.375 м, нагрузка q с учётом веса рабочего = 2,4 кН = 0,0024 МПа/м², момент инерции J для прямоугольного сечения считается по формуле

 J = b * h³ / 12 = 153 * 0,8³ / 12 = 6,528 смᶣ.

Всё готово для подсчёта прогиба: f = 0,0024 * 0,375ᶣ / (384 * 6000 * 0,00000006528) = 0,00032 м = 0,32 мм

Как видим, относительный прогиб составляет 1/1171, что более чем удовлетворительно.

    Осталось посчитать прогиб фанерного куска шириной 322 мм по схеме с шарнирным опиранием. Прогиб для такого способа отличается в 5 раз от прогиба пластины с заделанными краями: f = 5·q·lᶣ/(384·E·J). Данные для этой формулы следующие: E = 6000 МПа, l = 0,322 м,   q = 1,96 кН = 0,00196 МПа/м², момент инерции J такой же.

f = 5 * 0,00196 * 0,322ᶣ / (384 * 6000 * 0,00000006528) = 0,0007 м = 0,7 мм. 

Прогиб этой фанерки вдвое больше, однако его относительная величина 1/460 всё равно удовлетворяет всем требованиям. Прогиб фанерного куска шириной 220 мм можно не считать, и так понятно, что он будет отличным.

 

     2. Теперь посчитаем, достаточно ли нам досок сечением 68х35 мм.

Проверка досок должна производится не только по прогибу, но и по прочности.

Прочность считается удовлетворительной, если выполняется условие: М/W < Rи, 
где М - изгибающий момент. М = ql²/8 = 2,4 * 1,53² / 8 = 0,7 кН*м;

       W - момент сопротивления расчётного сечения. W = bh²/6­ = 3,5 * 6,8² / 6 = 27 см³;
       Rи - сопротивление изгибу, табличные данные для сосны II сорта Rи = 13 МПа.

700 Н*м/27 см  = 26 МПа > 13 МПа

Как видим, расчёт прогиба нам ещё рановато делать, доска в таком виде не выдерживает нагрузку. Поскольку других досок в достаточном количестве нету, было решено сделать дополнительную опору для них ровно посередине, установив поперёк ещё одну доску большего сечения. Теперь у нас получается двухпролётная деревянная балка с равными пролётами по 765 мм. Пересчитываем изгибающий момент, который в такой схеме считается по формуле

М = 9ql²/128: М = 9*1,2*0,765²/128 = 49 Н*м

 и проверяем условие ещё раз:                              49/27 = 1,8 МПа < 13 МПа

В таком виде условие выполняется с запасом и доска сечением 68 х 35 мм годится для опалубки плиты даже с запасом.
Осталось проверить ещё прогиб. Поскольку доска представляет собой двухпролётную балку с равными пролётами, каждую её часть можно рассматривать как балку с одним закреплённым концом и вторым на шарнирной опоре. Формула прогиба для такой балки выглядит так: f = q·lᶣ/(185·E·J)

где j = b * h³ / 12 = 3,5 * 6,8³ / 12 = 91,7 смᶣ; Е = 10000 МПа; l = 0,765 м; q = 1,2 кН.

f = 1,2 * 0,765ᶣ / (185 * 10000 * 0,000000917) = 0,24 мм

Ну, комментировать такой прогиб тоже смысла нету - всё отлично!

Реакция опор такова: 0,6 кН на концах и 1,2 кН в центральной опоре. Каждый конец будет опираться на деревянный брусок, прикрученный к опалубке второстепенных балок на два оцинкованных самореза диаметром 4 мм, т.е. каждый саморез должен выдержать на срез нагрузку 0,3 кН или 30 кг, что вполне ему по силам.

​

    3.  Считаем доску дополнительной опоры

В результате установки дополнительной опоры у нас появляется ещё два элемента для расчёта! Во-первых, это сама доска опоры. Во-вторых, вертикальная подпорка для этой доски. Из имеющегося в наличии для поперечной опорой доски была выбрана доска 150х50. Её длина 3924 мм, закреплены края и решено сделать опору по центру. Таким образом получаем ещё одну двухпролётную балку с равными пролётами по 2 метра. Способ расчёта уже описан, просто проверяем. J = 5 * 15³ / 12 = 1406 смᶣ. Нагрузка на всю доску складывается из нагрузок от 10-и "рёбер"  q = 10 * 1,2 = 12 кН и распределяется на два пролёта поровну, по 6 кН. 

Изгибающий момент в каждом пролёте М = 9ql²/128 = 9 * 6 * 2² / 128 = 1,7 кН*м

Проверяем прочность доски:                             1700 / 1406 = 1,2 МПа < 8,5 МПа

Проверяем прогиб доски:                      f = 6 * 2ᶣ / (185 * 10000 * 0,00001406) = 3,7 мм    (относительный: 1/540)

​

Доска подходит по расчёту, осталось подобрать надёжную вертикальную опору. Попробуем взять доску 150х50.

   

    4.  Считаем подпорку под дополнительную доску

Данные для расчёта таковы: высота опоры 3 м, нагрузка на сжатие 6 кН.

• Считаем радиус инерции стойки. Считаем для меньшей стороны сечения в 5 см, потому как именно меньшая сторона и будет изгибаться в первую очередь. imin=h/√12 = 5/3,464=1,44 см.

• Считаем гибкость сжатого элемента.                               λ=L*μ / imin

где μ - коэффициент расчётной схемы закрепления стойки, принимаем его равным единице (стойка шарнирно закреплена сверху и снизу), L - высота стойки, 3м.

λ =  300 см * 1 / 1,44 = 207.

По Своду Правил эту величину рекомендовано не допускать свыше 150, но для некоторых элементов она допустима до 200. В нашем случае оставлять такую подпорку без дополнительного закрепления посередине явно нельзя. Изменяем расчётную схему, предусмотрев закрепление стойки в центре, коэффициент μ = 0,5. Теперь гибкость нашей стойки выглядит вот так:                                      λ =  300 см * 0,5 / 1,44 = 104,2.

• Считаем коэффициент продольного изгиба. В зависимости от величины λ он считается по разным формулам. при λ≤70  φ = 1-0.8*(λ/100) ², при λ>70  φ = А/λ². Для древесины А=3000, для фанеры А=2500.

φ = 3000 / 104,2² = 0,276.

• Вычисляем расчётное сопротивление сжатию. На эту величину влияет множество факторов, таких как условия эксплуатации, влажность и сорт древесины, порода дерева, высота сечения, срок службы и т.п.

  • У нас сосновая доска III класса. Rсж = 8,5 Мпа.

  • Это сухой пиломатериал влажностью не более 20%. Коэффициент mb = 0,85.

  • В итоге у нас получается :                Rc = Rсж * mb = 8,5 * 0,85 = 7,22 МПа.

• Проверяем условие устойчивости опоры. Опора считается устойчивой, если выполняется следующее условие:    

 N/(Fрасч*φ) ≤ Rc,

где Fрасч - площадь сечения опоры, N = 6 кН.

 6/(0,05*0,15*0,276) =  2899 кПа = 2,9 МПа < 7,22 МПа

Условие выполняется.  Вывод: опора устойчива при обязательном закреплении в центре.

(В процессе сборки опалубки были обнаружены лишние доски, и я сделал по две подпорки вместо одной, повторный расчёт не проводил)